高中生都能看懂的弹簧振子简谐运动通解推导

众所周知，简谐运动的运动通解为$x=A\sin(\omega t+\phi)$，但是在高中甚至大学的教材都不一定给出推导过程。那么接下来我将会用高中生都能理解的步骤来推导。

预备知识

• 导数（包括复合函数的求导）
• 牛顿第二定律

推导过程

法一（并不推荐）

一般来说，我们最先想到的可能使基于 $F = -kx$，并使用牛顿第二定律来推导。这确实是一条可实现的路径，但是可能高中生难以用所学的知识来推导出来。但是我仍然会给出这种方法的推导过程。
$$F=-kx=ma=m\frac{dv}{dt}$$
即
$$-kx=m\frac{dv}{dt}$$
由于
$$
\begin{aligned}
&v=\frac{dx}{dt}\\
=>&dt=\frac{dx}{v}
\end{aligned}
$$
可得
$$
\begin{aligned}
&-kx=m\frac{dv}{dt}=\frac{mvdv}{dx}\\
=>&-kxdx=mvdv
\end{aligned}
$$
两边同时求定积分可得：
$$-k\frac{x^2-x_0^2}{2}=m\frac{v^2-v_0^2}{2}$$
即
$$\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}kx_0^2+\frac{1}{2}mv_0^2$$
注意看这个式子，左边等于当前状态的总能量，右边等于初始状态的总能量，所以上面的步骤实际上推出了弹簧振子的能量守恒，而这是显而易见的。接下来的推导过程请看下一节。

法二（推荐）

直接使用能量守恒可得：
$$\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2=E_0$$
看到这一个式子，我们不难想到三角换元，所以我们令：
$$
\begin{align}
x=\sqrt{\frac{2E_0}{k}}\sin\theta\tag{1} \\
v=\sqrt{\frac{2E_0}{m}}\cos\theta\tag{2}
\end{align}
$$
式(1)对t求导可得：
$$v=\sqrt{\frac{2E_0}{k}}\cos\theta\frac{d\theta}{dt}$$
代入式(2)可得：
$$
\begin{align}
&\frac{d\theta}{dt}=\sqrt{\frac{k}{m}}\\
=>&\theta=\sqrt{\frac{k}{m}}t+t_0
\end{align}
$$
令
$$
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\\
\phi=\sqrt{\frac{k}{m}}t_0
$$
即
$$\theta=\omega t+\phi$$
代入式(1)可得：
$$x=\sqrt{\frac{2E_0}{k}}\sin(\omega t+\phi)$$
即
$$x=A\sin(\omega t+\phi)\text{, }\omega=\sqrt\frac km$$
Q.E.D.