开普勒三大定律的证明

开普勒三大定律

开普勒第一定律（轨道定律）：所有星星绕恒星绕恒星运动的轨道都是椭圆且恒星处在椭圆的某个焦点上
开普勒第二定律（面积定律）：对于任意一个行星来说，其与恒星的连线扫过的面积$S$与运动时间$t$成正比
开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴$a$的三次方与其公转周期$T$的二次方的比值都相等，且比值只与其绕转天体的质量有关，或者说，行星轨道的半长轴$a$正比于公转周期$T$的二次方，即 $a^3\propto T^2$

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预备知识

1. 极坐标系
2. 亿点点微积分
3. 分部积分：$\int udv=uv-\int vdu$
   证明：
   $$d(uv)=udv+vdu$$
   $$udv=d(uv)-vdu$$
   $$\int udv=uv-\int vdu$$

第一定律

要验证运动轨迹是一个椭圆（这里包括圆），只需求出其轨迹方程，再与椭圆的方程对比来判断是否符合即可。椭圆再数学上有两种常见的表达方式，一种是直角坐标系方程：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$
另一种是极坐标方程：
$$\rho =\frac{ep}{1-ecos\theta}(e\in[0,1))$$
显然这里用直角坐标系会很麻烦，因此以恒星为极点建立极坐标系

假设恒星的质量为$M$，位矢（位置矢量）为$\vec{r_1}$，行星质量为$m$，位矢为$\vec{r_2}$，设$\vec{r}=\vec{r_1}-\vec{r_2}$，则
$$\vec{\ddot{r}}=\vec{\ddot{r_1}}-\vec{\ddot{r_2}} \tag1$$
（为了方便，下文用小写字母表示对应矢量的模）
只需证明r与极角$\theta$满足椭圆的极坐标方程形式
由万有引力公式和牛顿第二定律可得$M$和$m$的加速度分别为
$$\vec{\ddot{r_1}}=-\frac{Gm}{r^3}\vec{r}\qquad \vec{\ddot{r_2}}=\frac{GM}{r^3}\vec{r}$$
结合$(1)$可得：
$$\vec{\ddot{r}}+\frac{G(M+m)}{r^3}\vec{r}=\vec{0} \tag2$$
为了解这个矢量微分方程，我们考虑将它化为标量微分方程，一种可行的方法是引入一组单位正交基底再根据平面向量相等的充要条件得到两个标量等式。于是我们引入$\vec{r}$的单位方向向量和法向量$\vec{\hat{r}}$和$\vec{\hat{\theta}}$。则$\vec{r}=r\vec{\hat{r}}$

为了研究$\vec{\hat{r}}$和$\vec{\hat{\theta}}$之间的关系，我们引入直角坐标系辅助。
$$\vec{\hat{r}}=\vec{x}cos\theta +\vec{y}sin\theta $$
$$\vec{\hat{\theta}}=-\vec{x}sin\theta +\vec{y}cos\theta $$
可得
$$\frac{d\vec{\hat{r}}}{d\theta}=\vec{\hat{\theta}}$$
$$\frac{d\vec{\hat{\theta}}}{d\theta}=-\vec{\hat{r}}$$
则速度
$$\vec{\dot{r}}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dr\vec{\hat{r}}}{dt}=\frac{\vec{\hat{r}}dr+rd\vec{\hat{r}}}{dt}=\vec{\hat{r}}\frac{dr}{dt}+r\frac{d\vec{\hat{r}}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\dot{r}\vec{\hat{r}}+r\dot{\theta}\vec{\hat{\theta}}$$
加速度
$$
\begin{aligned}
\vec{\ddot{r}} &= \frac{d\vec{\dot{r}}}{dt}\\
&= \ddot{r}\vec{\hat{r}}+\dot{r}\frac{d\vec{\hat{r}}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}+\dot{r}\dot{\theta}\vec{\hat{\theta}}+\ddot{\theta}r\vec{\hat{\theta}}+r\dot{\theta}\frac{d\vec{\hat{\theta}}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\\
&= \ddot{r}\vec{\hat{r}}+\vec{\dot{r}}\dot{\theta}\vec{\hat{\theta}}+\dot{r}\dot{\theta}\vec{\hat{\theta}}+r\ddot{\theta}\vec{\hat{\theta}}-r\dot{\theta}^2\vec{\hat{r}}\\
&= (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{\hat{\theta}}
\end{aligned}
$$
综上
$$\vec{\dot{r}} = \dot{r}\vec{\hat{r}}+r\dot{\theta}\vec{\hat{\theta}}\tag3$$
$$\vec{\ddot{r}} = (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{\hat{\theta}}\tag4$$
将$(4)$代入$(2)$
$$(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2+G\frac{M+m}{r^2})\vec{\hat{r}}+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{\hat{\theta}}=\vec{0}=0\vec{\hat{r}}+0\vec{\hat{\theta}}$$
由平面向量基本定理
$$\ddot{r}-r\dot{\theta}^2+G\frac{M+m}{r^2}=0\tag5$$
$$2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0\tag6$$
对$(6)$两边积分，观察其系数，先两边乘$r$
$$
\begin{aligned}
& \int 2r\dot{r}\dot{\theta}dt+\int r^2\ddot{\theta}dt=C\\
\Leftrightarrow& \int 2r\dot{\theta}dr+\int r^2d\dot{\theta}=C
\end{aligned}
$$
对第二项分部积分得
$$\int 2r\dot{\theta}dr+\dot{\theta}r^2-\int 2r\dot{\theta}dr=C$$
因此
$$\dot{\theta}r^2=C\tag7$$
注意到要证的结论$r=\frac{ep}{1-ecos\theta}$发现$r$的倒数比较简单
于是我们令$r=\frac1x$，则$x=\frac1r$
可得
$$\dot{r}=\frac{dr}{dx}\frac{dx}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=-\frac{1}{x^2}\dot{\theta}\frac{dx}{d\theta}=-r^2\theta \frac{dx}{d\theta}=-C\frac{dx}{d\theta}$$
再求导（懒得打过程了）
$$\ddot{r}=-C^2x^2\frac{d^2x}{d\theta^2}\tag8$$
把$(8)$代入$(5)$可得：
$$-C^2x^2\frac{d^2x}{d\theta^2}-C^2x^3+G(M+m)x^2=0$$
即
$$\frac{d^2x}{d\theta^2}+x=G\frac{M+m}{C^2}$$
设$\frac{dx}{d\theta}=x’$，$\frac{dx’}{d\theta}=x’’$，$G\frac{M+m}{C^2}=C’$
$$x’’+x=C’$$
$$\frac{dx’}{dx}\frac{dx}{d\theta}+x=C’$$
$$\frac{dx’}{dx}x’=C’-x$$
$$\frac{x’^2}{2}=C’x-\frac{x^2}{2}+C_1$$
$$x’^2+(x-C’)^2=C’^2+2C_1=C_2$$
$$\text{令}\begin{cases}x’=\sqrt{C_2}cos\lambda\\x-C’=\sqrt{C_2}sin\lambda\end{cases}$$
$$d\theta=\frac{dx}{x’}=\frac{\sqrt{C_2}cos\lambda d\lambda}{\sqrt{C_2}cos\lambda}=d\lambda$$
两边积分
$$\lambda=\theta+\varphi$$
$$\begin{aligned}
x &= C’+\sqrt{C_2}sin\lambda\\
&= C’+\sqrt{C_2}sin(\theta+\varphi)\\
&= C’-\sqrt{C_2}cos(\theta+\varphi+\frac\pi2)
\end{aligned}
$$
因此：
$$
\begin{aligned}
r=\frac1x &= \frac{1}{C’-\sqrt{C_2}cos(\theta+\varphi+\frac\pi2)}\\
&= \frac{\frac{1}{C’}}{1-\frac{\sqrt{C_2}}{C’}cos(\theta +\varphi +\frac\pi2)}
\end{aligned}
$$
满足圆锥曲线方程，只要初始条件合适，即可满足$e=\frac{\sqrt{C_2}}{C’}\in [0,1)$
于是得证.

第二定律

有了开普勒第一定律的证明，第二定律的证明就变得十分简单
这里需要用到前面的$(7)$式
$$\dot{\theta}r^2=C\tag7$$
因此掠面速度
$$V=\frac{dS}{dt}=\frac{\frac12 r(r+dr)sin(d\theta)}{dt}=\frac{\frac12 r^2d\theta}{dt}=\frac12 r^2\dot{\theta}=\frac12 C\tag8$$
第二定律的证.

第三定律

在带到掠面速度$v$为定值后，周期$T=\frac{S}{V}$
对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其面积$S=\pi ab$（这大概是常识就不证了吧）
然后我们只需要求出$V$关于半长轴$a$的表达式

取近日点和远日点，设距恒星距离分别为$r_1$和$r_2$，此时极角（极坐标方程里的$\theta$）为$\theta_1$和$\theta_2$，速度分别为$v_1$和$v_2$，取两个相等的$dt$。
则由$(8)$可得
$$V=\frac12 r_1^2\dot{\theta_1}=\frac12 r_1r_1\omega_1=\frac12 r_1v_1$$
同理
$$V=\frac12 r_2v_2=\frac12 r_1v_1\tag9$$
由动能和引力势能守恒可得：
$$\frac12 mv_1^2-\frac{GMm}{r_1}=\frac12 mv_2^2-\frac{GMm}{r_2}\tag{10}$$
由椭圆性质可得
$$
\begin{cases}
r_1=a-c\\
r_2=a+c\\
a^2-b^2=c^2d
\end{cases}\tag{11}
$$
联立$(9)(10)(11)$，解得：
$$V=\frac b2 \sqrt{\frac{GM}{a}}$$
因此周期
$$T=\frac SV =\frac{\pi ab}{\frac 2b \sqrt{\frac{GM}{a}}}=2\pi a\sqrt{\frac{a}{GM}}$$
所以
$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}=k$$
得证.